失踪证明应当由 公安机关出具，具体开具部门可能是派出所或公安分局。
派出所：
失踪证明通常首先向失踪人住所地的派出所报案，并提供失踪人的身份信息和失踪情况，如失踪时间、地点、可能的去向等。警方会根据提供的信息进行调查，并在确认失踪事实后由派出所出具失踪证明。
公安分局：
在某些情况下，如果失踪情况较为复杂或涉及跨地区，可能需要到公安分局进行办理。
人民法院：
除了派出所外，利害关系人还可以直接向基层人民法院提出申请，由法院依法定程序宣告人员失踪。法院在受理申请后，会发出寻找公告，并在公告期届满后作出宣告失踪的判决，同时开具相关证明。
综上所述，失踪证明的开具部门主要是公安机关的派出所或公安分局，具体办理流程和所需材料可能因地区和具体情况而异。建议先向当地派出所报案，并配合警方调查，以获取初步的失踪证明，然后再根据法院的要求完成后续的宣告失踪程序。
